個人情報の漏えいを防ぐ体制はどのように構築すれば良いですか。

まず、社員が個人情報をダウンロードできないようにすることが重要です。

業務上の必要性から一部の個人情報をダウンロードできるようにしたとしてもダウンロード情報にアクセス制限をかけ、アクセスログを取ることで、誰がいつアクセスしていたかを会社側が把握できるようにしてください。
個人情報が紙などに記載されている場合は、鍵付きのロッカー等に厳重に保管してください。